In questa lezione andremo a definire i concetti di cerchio e di circonferenza in geometria piana. Studieremo le principali formule per il calcolo dell’area del cerchio, perimetro, raggio e diametro, capendo insieme quali di queste è bene ricordare a memoria e quali invece si possono ricavare facilmente dalle prime. Prima però presenteremo un comodo calcolatore online interattivo che permette di ricavare tutte le caratteristiche della figura inserendone alcuni dati come ad esempio il raggio e che può essere utile per controllare se un esercizio è stato svolto correttamente.
Diamo innanzitutto le definizioni di circonferenza e cerchio.
Per capirci il cerchio è la superficie che sta all’interno della circonferenza o, più formalmente, l’insieme dei punti del piano che distano da un punto detto centro non più di una distanza data detta raggio
Un altro elemento importante è il diametro del cerchio definito come un segmento che unisce due punti della circonferenza passando per il centro. È facile vedere che poiché è costituito da due raggi detta \(d\) la misura del diametro e \(r\) quella della circonferenza vale la relazione
$$ d = 2r $$
Abbiamo creato questo semplice strumento interattivo che permette di calcolare dinamicamente l’area del cerchio, il perimetro, il raggio e il diametro semplicemente inserendo un valore dato. Puoi utilizzarlo per controllare la correttezza di un esercizio che hai svolto, mentre se vuoi ripassare le formule del cerchio vai direttamente ai paragrafi successivi.
Utilizza il punto come separatore dei decimali
| Elemento | Formula | Valore |
|---|---|---|
| Raggio | \(d/2\) | |
| Diametro | \(2r\) | |
| Area | \(\pi r^2\) | |
| Perimetro | \(2 \pi r\) |
Attenzione: il calcolatore usa un valore di pi greco molto preciso (con molte cifre decimali) anziché la classica approssimazione a \(3,14\) pertanto è possibile che i risultati siano leggermente diversi rispetto a un calcolo fatto con il valore approssimato
La formula più importante da imparare è la formula dell’area del cerchio. È bene impararla a memoria e ricordarla sempre, sarà utilissima in tantissime occasioni di studio e in diverse materie, dalla fisica del liceo fino a qualsiasi scienza o ingegneria all’università.
La formula per l’area del cerchio dato il raggio è
Dove pi greco \( \pi\) è un numero irrazionale che negli esercizi si può approssimare con \(3,14\).
A partire da essa è semplicissimo ricavare le formule inverse sfruttando i principi di equivalenza delle equazioni. Proprio perché sono così semplici da ricavare non ha senso impararle a memoria: basta ricordare quella fondamentale. Proviamo per esercizio a ricavare insieme la formula inversa che data l’area ci fornisce il raggio della circonferenza. Partiamo dalla formula base e dividiamo entrambi i termini per \(\pi\)
$$ A = \pi r^2 $$
$$ r^2 = \frac{A}{\pi} $$
Da cui estraendo la radice quadrata otteniamo
$$ \begin{equation} r = \sqrt{ \frac{A}{\pi} } \tag{raggio del cerchio data l'aerea} \end{equation}$$
Un altro semplice esercizio che possiamo fare consiste nel ricavare la formula dell’area del cerchio dato il diametro e la sua inversa. Per fare questo sappiamo che \( A = \pi r^2 \) e che il raggio è metà del diametro cioè \( r = \frac{d}{2} \), inserendo quindi questa informazione nella formula otteniamo
$$\begin{equation} A = \pi \left(\frac{d}{2}\right)^2 \tag{area del cerchio dato il diametro} \end{equation}$$
E per calcolare la formula inversa
$$ \left(\frac{d}{2}\right)^2 = \frac{A}{\pi}$$
$$ \frac{d}{2} = \sqrt{\frac{A}{\pi}} $$
$$\begin{equation} d = 2 \sqrt{\frac{A}{\pi}} \tag{diametro del cerchio data l'area} \end{equation}$$
E quindi una formula molto più complicata da ricordare (si può scrivere anche \( d = \sqrt{\frac{4A}{\pi}} \) ) rispetto alla semplice \(A = \pi r^2 \) da cui eravamo partiti.
Il perimetro del cerchio ovvero la lunghezza della circonferenza che racchiude il cerchio, si può calcolare semplicemente con la formula
dove, come al solito, con \(2p\) indichiamo la misura del perimetro.
E’ semplice vedere che, poiché il diametro è due volte il raggio \( d = 2r \) il perimetro dato il diametro si calcola semplicemente come
$$ 2p = \pi d $$
Infine come visto nella sezione relativa all’area è molto semplice ricavare le formule inverse tramite i principi di equivalenza delle equazioni, tanto che non ha senso impararle a memoria. Per completezza vediamo solo brevemente insieme la formula per ricavare il raggio dato il perimetro cioè:
$$r = \frac{2p}{2\pi} $$
Diamo ora alcune definizioni relative a luoghi geometrici che compaiono di frequente quando si ha a che fare con il cerchio
Corda: segmento che ha per estremi due punti appartenenti alla circonferenza. Notiamo per inciso che il diametro è una qualsiasi corda che passa anche per il centro della circonferenza.
Angolo al centro: angolo il cui vertice coincide con il centro della circonferenza
Angolo alla circonferenza: angolo il cui vertice appartiene alla circonferenza e i cui lati intersecano o sono tangenti alla circonferenza
Arco di circonferenza: parte di circonferenza delimitata da due punti della circonferenza. Se i due punti sono estremi di un diametro allora l’arco di circonferenza che delimitano è anche detto semicirconferenza.
Settore circolare: parte di cerchio compresa tra due raggi e la circonferenza
Segmento circolare (ad una base): parte di cerchio compresa tra una corda e la circonferenza
Segmento circolare (a due basi): parte di cerchio compresa tra due corde parallele e la circonferenza