Le equazioni di primo grado

Le equazioni di primo grado in un'incognita sono equazioni in cui l'unica incognita compare in polinomi di primo grado, ovvero elevata al massimo alla potenza uno. Non si può quindi trovare elevata alla seconda, dentro logaritmi, all'esponente, al denominatore di una frazione e così via.

Risolvere un'equazione di primo grado

Per risolvere un'equazione di primo grado sfruttiamo i principi di equivalenza delle equazioni per ricondurci attraverso alcuni passaggi ad un'equazione equivalente (cioè con le stesse soluzioni) ma in cui la soluzione si "veda facilmente". In generale vorremmo "spostare" le \(x\) a sinistra dell'uguale e i numeri a destra. Vediamo attraverso degli esempi questo procedimento.

Prendiamo ad esempio l'equazione Per il primo principio di equivalenza possiamo sommare la stessa quantità ad entrambi i membri dell'equazione. Poiché vorremmo avere la \(x\) a sinistra dell'uguale e i numeri a destra il nostro scopo è spostare il 6 al secondo membro. Per fare ciò sommiamo 6 (così si semplifica con -6) ad entrambi i membri ed otteniamo $$\require{cancel} 2x-6+\color{orange}{6}=2+\color{orange}{6} \; \longrightarrow \; 2x-\cancel{6}+ \cancel{6}=2+6$$ $$\rightarrow 2x=8$$ A questo punto, poiché vorremmo lasciare la \(x\) da sola, dobbiamo togliere il 2 che la moltiplica. Per fare ciò dividiamo entrambi i membri dell'equazione per 2 e otteniamo $$\frac{2x}{\color{orange}{2}}=\frac{8}{\color{orange}{2}}$$ $$x=4$$ Siamo così arrivati ad un'equazione equivalente in cui leggiamo subito che la soluzione è \(x=4\).


Vediamo un altro esempio un pochino più complicato ma in cui il procedimento di risoluzione è sempre analogo. Risolviamo Effettuiamo innanzitutto le operazioni di moltiplicazione e sommiamo i monomi simili $$3x -3 + 3 +2x=1-4-x $$ $$ \longrightarrow \; 5x = -3-x$$ Ora vogliamo spostare le \(x\) a sinistra dell'uguale. Sommiamo quindi \(x\) ad entrambi i membri dell'equazione $$5x +\color{orange}{x} = -3-x+\color{orange}{x} \; \longrightarrow \; 6x = -3$$ Infine dividiamo per 6 entrambi i membri $$\frac{6x}{\color{orange}{6}} =\frac{-3}{\color{orange}{6}}$$ Da cui otteniamo $$x = -\frac{1}{2}$$ Per verificare se non abbiamo fatto errori possiamo andare a sostituire il valore trovato al posto della \(x\) nell'equazione di partenza ed assicurarci di ottenere un'identità.

Con un po' di esperienza nel risolvere le equazioni di questo tipo si capisce che il procedimento che facciamo quando diciamo che vogliamo spostare un numero da una parte all'altra dell'uguale è in pratica equivalente a spostarlo al di là dell'uguale cambiandone il segno.
Per esempio se abbiamo \(x+5=9\) e vogliamo spostare il 5 a destra la teoria ci dice di sottrarre ad 5 ad entrambi i membri in modo che quello a sinistra vada via: \(x+5-5=9-5\) che ci dà \(x=4\). Il trucco per velocizzare il tutto è fare questa cosa in un colpo solo pensando di spostare il 5 dall'altro lato dell'uguale cambiandogli il segno: $$x \color{orange}{+5}=9 \; \longrightarrow \; x=9 \color{blue}{-5} \; \longrightarrow \; x=4.$$

Se l'incognita scompare

Facendo i passaggi descritti sopra può capitare che le \(x\) si semplifichino, ad esempio in $$x+2=x$$ sottraendo \(x\) ad entrambi i membri le incognite si semplificano e "scompaiono". In questo caso rimaniamo con una uguaglianza tra numeri, senza alcuna variabile. Essa può quindi essere o vera o falsa, il valore dell'incognita non la può più modificare in alcun modo.
Ci sono quindi due casi:

1. Se otteniamo un'uguaglianza vera, cioè un'identità vera diciamo che l'equazione di partenza ha come insieme delle soluzioni \(\mathbb{R}\), ovvero qualsiasi valore dell'incognita è soluzione. L'equazione ha quindi infinite soluzioni in questo caso.
2. Se otteniamo un'uguaglianza falsa allora l'equazione di partenza non ha soluzioni (l'insieme delle soluzioni è \(\emptyset\)). Infatti l'incognita non compare più e qualsiasi valore vi sostituiremmo ci lascerebbe con la stessa uguaglianza falsa.