Piano cartesiano
La geometria analitica studia i vari enti geometrici (punti, rette, parabole, triangoli e figure geometriche in generale, …) dal punto di vista algebrico e analitico, sfruttando un sistema di coordinate detto cartesiano. Questo ci permette di rappresentare ogni ente geometrico con numeri ed equazioni con cui possiamo indagare meglio le sue proprietà.
L’ambiente che ci fornisce le coordinate e in cui studieremo gli oggetti geometrici è il piano cartesiano.
Il piano cartesiano
Il piano cartesiano è costituito da due rette perpendicolari che si incontrano in un punto detto origine (O). L’asse orizzontale è comunemente chiamato asse delle x o asse delle ascisse mentre quello verticale asse delle y o asse delle ordinate. Entrambe le rette sono orientate ovvero poiché è stato stabilito un verso è possibile stabilire, dati due punti su una di esse, quale dei due precede l’altro. Infine si stabilisce un’unità di misura (solitamente uguale) su entrambe le rette. Abbiamo così fissato un sistema di riferimento ortogonale.
Grazie a questa costruzione è ora possibile associare ad ogni punto del piano un coppia di coordinate che lo identifica univocamente e viceversa data una coppia di coordinate è possibile identificare in modo univoco un punto del piano. Detto in un altro modo abbiamo messo in corrispondenza biunivoca i punti del piano con le coppie ordinate di numeri reali.
Vediamo come si fa ad esempio a passare da un punto alle sue coordinate.
Dato un punto per trovare le sue coordinate si tracciano due rette parallele agli assi e passanti per il punto. Si va poi a leggere, prima sull’asse x poi sull’asse y, il valore del punto in cui avviene l’intersezione.
Per dire che il punto P ha ascissa x e ordinata y useremo la notazione
$$P(x; y)$$
Il piano cartesiano è diviso in 4 quadranti dagli assi. Quello in cui i punti hanno entrambe le coordinate positive, cioè quello in alto a destra, è il primo quadrante. Seguono in senso antiorario il secondo, terzo e quarto quadrante.
Distanza tra punti del piano
Se i due punti hanno una coordinata uguale cioè sono disposti sulla stessa retta orizzontale o verticale calcolare la loro distanza è facile: basta vedere di quanto differiscono le coordinate diverse. In formule:
Punti con stessa ordinata
Se i due punti hanno la stessa ordinata (cioè sono sulla stessa retta orizzontale) avranno coordinate del tipo \(A(x_a;c)\) e \(B(x_b;c) \) e la loro distanza sarà
$$d(A,B) = \left| x_a-x_b \right|$$
Punti con stessa ascissa
Se I punti sono sulla stessa verticale, cioè hanno uguali ascisse: \(A(c\, ;\, y_a)\) e \(B(c\, ;\, y_b) \) allora
$$d(A,B) = \left| y_a-y_b \right|$$
Caso generale
In generale i due punti saranno disposti “in diagonale”. Il calcolo della distanza non è molto più complicato dato che con le formule precedenti possiamo calcolare la loro distanza “in orizzontale”, la loro distanza in “verticale” e poi applicare semplicemente il teorema di pitagora.
Se i punti hanno coordinate \(A(x_a; y_a) \) e \(B(x_b;y_b) \) allora
$$d(A,B) = \sqrt{ (x_a-x_b)^2 + (y_a-y_b)^2 } $$
Il punto medio di un segmento
Il punto medio del segmento AB tra i punti \(A(x_a;y_a)\) e \(B(x_b;y_b)\) è il punto \(M(x_M;y_M)\) le cui coordinate sono date da
$$ x_M= \frac{x_a + x_b}{2} \qquad y_M=\frac{y_a+y_b}{2} $$
Perchè funziona questa formula?
Calcoliamo prima il punto medio M in una dimensione, cioè su una retta orientata, di due punti A e B. Per farlo imponiamo che la misura di AM sia uguale a quella di MB:
$$\left| x_M-x_A\right| = \left| x_B-x_M\right|$$
Supponiamo che A preceda B (naturalmente M è in mezzo tra i due). Allora entrambe le quantità sopra sono positive e possiamo togliere i valori assoluti. Se B avesse preceduto A avremmo semplicemente scambiato l’ordine.
$$x_M-x_A = x_B-x_M$$
Ricaviamo ora \(x_M\)
$$x_M + x_M = x_A+x_B$$
$$2x_M = x_A+x_B$$
$$x_M= \frac{x_A+x_B}{2}$$
Notiamo che la formula per il punto medio nel piano ci fornisce la x e la y di M semplicemente calcolando il punto medio “in una dimensione” delle due ascisse e quello delle due ordinate. Tutto ciò funziona grazie al teorema di Talete (vedi il disegno). Infatti esso afferma, in particolare, che dato un fascio di rette parallele tagliato da due trasversali, a segmenti congruenti su una trasversale corrispondono segmenti congruenti sull’altra trasversale.
