L’equazione della retta \(ax+by+c=0 \) è detta equazione della retta in forma implicita. Se la retta non è parallela all’asse y si può esplicitare l’equazione rispetto a y (cioè ricavare la y) ottenendo una funzione della variabile x:
$$ax+by+c=0$$
$$by = -ax –c $$
$$y = -\frac{a}{b}x -\frac{c}{b}$$
Chiamiamo, per comodità, \( -\frac{a}{b} = m \) e \(-\frac{c}{b} = q \) e otteniamo l’equazione della retta in forma esplicita:
$$y=mx+q$$
Il valore di m è detto coefficiente angolare (vedremo perché). Il valore di q è detto ordinata all’origine. Questo perché se inserisco il valore \(x=0\) nell’equazione ottengo \(y=q\) ovvero il punto \(P(0;q)\) dell’asse y appartiene alla retta: è il punto in cui la retta interseca l’asse y.
Mentre con l’equazione in forma implicita \(ax+by+c=0\) si possono rappresentare tutte le rette del piano, con l’equazione in forma esplicita \(y=mx+q\) si possono rappresentare tutte le rette tranne quelle verticali, cioè parallele all’asse y.
Il termine m è chiamato coefficiente angolare perché fornisce indicazioni sull’angolo che la retta forma con l’asse x, cioè sulla sua “pendenza”. Vediamo come si traduce graficamente questo dato.
Consideriamo una retta con \(q=0\) che passa quindi dall’origine, per quanto visto sopra (q è il punto in cui la retta interseca l’asse y, se lo interseca in “0” deve passare per l’origine):
$$y=mx$$
Consideriamo il punto di ascissa \(x=1\) che sta sulla retta e vediamo qual è la sua ordinata y. Per fare ciò sostituiamo le sue coordinate nell’equazione e otteniamo
$$y = m$$
Ovvero si tratta del punto \(P(1;m)\). Questo vuol dire che incrementando di 1 l’ascissa x, dall’origine al punto x=1, la y di un punto che si muove sulla retta è incrementata da 0 a m. Quindi più è alto il coefficiente angolare più la retta è pendente.
La bisettrice del I e III quadrante ha coefficiente angolare \(m=1\) cioè è la retta
$$y=x$$
Effettivamente essa è formata da tutti i punti che hanno ascissa uguale all’ordinata.
Le rette meno pendenti della bisettrice avranno \(m<1\) mentre quelle più pendenti avranno \(m>1\). Man mano che ci si avvicina alla retta verticale (che non si può rappresentare con la formula esplicita) il coefficiente angolare continua ad aumentare. Possiamo in un certo senso immaginare la retta verticale come una retta con pendenza “infinita”, ed è per questo che non riusciamo a rappresentarla nella forma \(y=mx+q\). La retta orizzontale \(y=0\) ha coefficiente \(m=0\)
Il coefficiente angolare può anche essere negativo. La bisettrice del II e IV quadrante ha coefficiente \(m=-1\). Rette più pendenti hanno coefficiente che decresce verso meno infinito mentre quelle meno pendenti hanno coefficiente cresce fino a 0 cioè quello della retta orizzontale.
Consideriamo una retta qualsiasi \(y = mx+q\) e due punti su di essa \(A(x_1;y_1)\) e \(B(x_2;y_2)\). Essi soddisfano dunque l’equazione della retta
$$y_1=mx_1 +q$$
$$y_2 =mx_2 +q$$
Sottraendo la prima equazione dalla seconda, membro a membro, si ottiene
$$y_2+y_1=m(x_2-x_1)$$
Cioè dividendo per \( (x_2-x_1) \)
$$m = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$$
Ovvero il coefficiente angolare ci dice il rapporto tra quanto aumenta la y rispetto a quanto aumenta la x nello spostarsi tra due punti della retta.