Un classico esercizio di geometria analitica consiste nel trovare l'equazione di una circonferenza che soddisfi alcune condizioni date. Alcuni esempi di richieste che determinano univocamente una circonferenza sono:
Circonferenza che passi per tre punti non allineati
Circonferenza avente centro e raggio assegnati
Circonferenza avente centro assegnato e passante per un punto dato
Circonferenza con centro su una retta data e passante per due punti
Circonferenza con centro dato e tangente a una retta data
...
Per risolvere questo tipo di esercizio possiamo in generale iniziare scrivendo l'equazione della generica circonferenza con tre parametri \(a,b,c\):
$$x^2+y^2+ax+by+c=0$$
a questo punto traduciamo le condizioni che ci vengono date in condizioni sull'equazione generica della circonferenza in modo da trovare i valori di \(a,b,c\) che le soddisfano.
Vediamo alcuni esempi insieme
Circonferenza passante per tre punti
Siano dati tre punti \(A(1,2)\), \(B(3,0) \) e \(C(0,0)\). Determinare l'equazione della circonforeza passante per essi.
Iniziamo considerando l'equazione generica della circonferenza \(x^2+y^2+ax+by+c=0\) e imponiamo il passaggio per ognuno dei tre punti: la circonferenza passa per un punto le sue coordinate soddisfano l'equazione della circonferenza, ovvero se si sostituiscono la x e la y del punto nell'equazione della circonferenza si ottiene un'identità.
Ad esempio il passaggio per \(A(1,2)\) è garantito se \(1^2+2^2 +a\cdot 1+b\cdot 2 + c=0 \rightarrow 5+a+2b+c=0\)
Poichè la circonferenza deve passare per tutti e tre i punti contemporaneamente mettiamo a sistema le tre equazioni che si ottengono sostituendo le coordinate dei punti nell'equazione generica:
\begin{cases}
1 + 4 + a + 2b + c = 0 \\
9 + 3a +c = 0 \\
c = 0
\end{cases}
Risolviamo il sistema:
\begin{cases}
5 + (-3) + 2b = 0 \\
a = -3 \\
c = 0
\end{cases}
e quindi
\begin{cases}
b = 1 \\
a = -3 \\
c = 0
\end{cases}
Pertanto l'equazione richiesta passante per i punti data ha equazione \(x^2+y^2-3x-y=0 \)
La circonferenza passante per i tre punti dati
Circonferenza dati centro e raggio
Determinare l'equazione della circonferenza avente centro \(C(1,1)\) e raggio 2.
Risolviamo questo problema con due modi, equivalenti.
Per il primo scriviamo ancora una volta l'equazione generica della circonferenza \(x^2+y^2+ax+by+c=0\) e ricordiamo le formule di centro e raggio \( C\left(-\frac{a}{2}; -\frac{b}{2}\right) \) e \( r=\sqrt{{\left(-\frac{a}{2}\right)}^2+{\left(-\frac{b}{2}\right)}^2-c} \).
Imponendo i valori richiesti si ottiene
\begin{cases}
1 = -\frac{a}{2} \\
1 = -\frac{b}{2} \\
2 = \sqrt{{\left(-\frac{a}{2}\right)}^2+{\left(-\frac{b}{2}\right)}^2-c}
\end{cases}
(dove la prima equazione serve a richiedere che \(x_c\) sia 1, la seconda che \(y_c\) sia 1 e la terza che il raggio sia 2). Risolvendo:
\begin{cases}
a = -2 \\
b = -2 \\
4 = {\left(-\frac{a}{2}\right)}^2+{\left(-\frac{b}{2}\right)}^2-c
\end{cases}
da cui, continuando a risolvere, otteniamo \(a=-2, b=-2, c=-2\), per cui l'equazione richiesta è \(x^2+y^2-2x-2y-2=0\)
La circonferenza con centro e raggio dati
Un modo alternativo, e in questo caso più semplice, consiste nel ricordare l'altra forma dell'equazione della circonferenza in cui sono già in evidenza centro e raggio: \( (x-x_c)^2+(y-y_c)^2=r^2 \).
In questo modo è un attimo imporre le condizioni richieste:
$$(x-1)^2+(y-1)^2=4$$
da cui sviluppando i quadrati dei binomi otteniamo
$$x^2 + y^2 -2x -2y -2=0$$
Circonferenza con centro su una retta data e passante per due punti
Determinare l'equazione della circonferenza avente centro sulla retta di equazione \(y=x+1 \) e passanti per i punti \(O(0,0)\) e \(A(0,5) \)
Sappiamo che le coordinate del centro di una circonferenza di equazione \(x^2+y^2+ax+by+c=0\) sono date da \( C\left(-\frac{a}{2}; -\frac{b}{2}\right) \).
Per stare sulla retta data tali coordinate devono soddisfarne l'equazione una volta sostituite al posto della x e della y, ovvero deve essere \(y_C=x_C+1\) e dunque \( -\frac{b}{2}= -\frac{a}{2} +1 \).
La condizione di passaggio della circonferenza per i punti \(O\) e \(A\) si richiede come visto negli esempi precedenti. Mettendo a sistema le tre condizioni si ottiene:
\begin{cases}
-\frac{b}{2}= -\frac{a}{2} +1 \\
c=0 \\
25+5b=0
\end{cases}
Risolvendo:
\begin{cases}
a = b + 2 \\
c = 0 \\
b = -5
\end{cases}
Pertanto la circonferenza richiesta ha equazione \(x^2+y^2-3x -5y=0\)