Proprietà delle potenze
Le potenze godono di numerose proprietà utili che verranno utilizzate moltissime volte. E’ bene impararle a memoria e saperle riconoscere al volo:
1. Prodotto di potenze con la stessa base
$$a^x\cdot a^y = a^{(x+y)}$$
2. Quoziente di potenze con la stessa base
$$a^x : a^y = a^{(x – y)}$$
3. Potenza di potenza
$${(a^x)}^y = a^{x\cdot y}$$
4. Prodotto di potenze con lo stesso esponente
$$a^x b^x = {(ab)}^x$$
5. Quoziente di potenze con lo stesso esponente
$$\frac{a^x}{b^x} = {\left(\frac{a}{b}\right)}^x$$
Osserviamo che, ad esempio, la proprietà 2 si ricava facilmente dalla 1:
$$a^x : a^y=\frac{a^x}{a^y} = a^x \cdot \frac{1}{a^y} = a^x \cdot a^{-y} = a^{x-y}$$
Ricordiamo che se l’esponente è un numero razionale (cioè una frazione) la base deve essere positiva altrimenti si può giungere ad incongruenze.
Prodotto di potenze con la stessa base:
\(2^3 \cdot 2^5 =2^{3+5}=2^8\)
\(7^1 \cdot 7^2 = 7^3\)
\(e^2 \cdot e^4 = e^6\)
\(\left(\frac{1}{2}\right)^2 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^1 = \left(\frac{1}{2}\right)^3\)
\(2^4\cdot 2^3\cdot 2^2 = 2^{4+3+2}= 2^9\)
Quoziente di potenze con la stessa base:
\(3^5 : 3^2 =3^{5-2}=3^3\)
\(\frac{4^6}{4^5} =4^1\)
\(e^3 : e^7 = e^{-4}\)
\(9^2 : 9^5 = 9^{-3}\)
\(\frac{4^6}{4^2\cdot 4^3} =\frac{4^6}{4^{2+3}} = \frac{4^6}{4^5} =4^1\)
Potenza di potenza:
\({(5^3)}^2 =5^6\)
\({(8^4)}^3 =8^12\)
\({(\pi^3)}^3 =\pi^9\)
Prodotto di potenze con lo stesso esponente:
\(4^2 \cdot 3^2 = 12^2\)
\(7^4 \cdot 4^4 = 28^4\)
\(2^5 \pi^5 =(2\pi)^5\)
\(4^{-1} \cdot 5^{-1} =20^{-1}\)
\(2^5 \cdot 3^5 \cdot 5^5= (2\cdot 3\cdot 5)^5 = 30^5\)
Quoziente di potenze con lo stesso esponente:
\(\frac{3^4}{5^4}={\left(\frac{3}{4}\right)}^4\)
\(\frac{10^3}{2^3}={\left(\frac{10}{2}\right)}^3 = 5^3\)
\(\frac{6^{-1}}{5^{-1}}={\left(\frac{6}{5}\right)}^{-1}\)