Equazioni trinomie

Le equazioni trinomie sono equazione del tipo $$ax^{2n}+bx+c=0$$ e comprendono il caso particolare delle equazioni biquadratiche: $$ax^4+bx^2+c=0$$

Risoluzione

Per risolvere questo tipo di equazioni facciamo il cambio di variabile $y=x^n$ vale a dire al posto di $x^n$ scriviamo una nuova variabile che chiamiamo $y$ (o $t$ o $z$ o qualsiasi altro nome).
In questo modo $x^n$ diventa $y$ mentre $x^{2n}=(x^n)^2$ diventerà $y^2$.

Con queste sostituzioni arriviamo a $$ay^2+by+c=0$$ vale a dire una semplice equazione di secondo grado nell'incognita $y$.
Ora risolviamo semplicemente l'equazione di secondo grado (troviamo 0, 1 oppure 2 valori di $y$) ed infine ritorniamo alla $x$ ricordando che $x^n=y$ perciò

Se l'equazione di secondo grado ha due soluzioni $y_1$ e $y_2$ dobbiamo risolvere due equazioni binomie $x^n=y_1$ e $x^n=y_2$.
Se l'equazione di secondo grado ha una sola soluzione $y_1$ dobbiamo risolvere un'equazione binomia $x^n=y_1$.
Se l'equazione di secondo grado non ha nessuna soluzione allora anche l'equazione di partenza non avrà nessuna soluzione.

Esempi

1) $x^4-5x^2+4=0$
Si tratta di un'equazione biquadratica. Facciamo la sostituzione $x^2=y$ e otteniamo $$y^2-2y+4=0$$ le cui soluzioni sono $$y_{1,2}=\frac{5\pm \sqrt{25-16}}{2} = \frac{5\pm 3}{2} $$ cioè $y=1$ e $y=4$. Torniamo alla variabile $x$ ricordando che era $x^2=y$.
Ci troviamo a dover risolvere le due equazioni binomie $x^2=1$ e $x^2=4$. La prima dà come soluzione $x=\pm 1$ mentre la seconda dà $x=\pm 4$.
Ricapitolando le soluzioni sono $ \{-1,1,-2, 2\} $

2) $x^8-15x^4-16=0$
Con la sostituzione $x^4=y$ arriviamo all'equazione di secondo grado $$y^2-15y-16=0$$ le cui soluzioni sono $$y_{1,2}=\frac{15\pm \sqrt{225+64}}{2} = \frac{15\pm 17}{2} $$ cioè $y=-1$ e $y=16$. Torniamo alla variabile $x$ ricordando che $y=x^4$ e otteniamo le equazioni binomie $x^4=-1$ e $x^4=16$. Poiché l'indice della radice è pari (4) e il secondo membro è negativo $x^4=-1$ non ha soluzioni. L'equazione $x^4=16$ ha invece le soluzioni $x=\pm \sqrt[4]{16}= \pm2$.
Ricapitolando le soluzioni dell'equazione di partenza sono $x=-2$ e $x=2$.

3) $x^{10} + x^5 -6=0$
Sostituendo $y=x^5$ otteniamo $$y^2+y-6=0$$ che ha come soluzioni $y_1=-3$ e $y_2=2$. Risostituendo otteniamo le due equazioni binomie $x^5=-3$ e $x^5=2$ le cui soluzioni sono $x=-\sqrt[5]{3}$ e $x=\sqrt[5]{2}$.