Disequazioni di secondo grado

Le disequazioni di secondo grado sono disequazioni in cui l'incognita $x$ è elevata al quadrato, ovvero disequazioni della forma o eventualmente con i segni "stretti" $>$ o $<$.
Ricordiamo che $a,b,c$ sono dei numeri reali e inoltre vogliamo che $a$ sia diverso da $0$, altrimenti l'equazione sarebbe di primo grado.
L'insieme delle soluzioni di una disequazione è in generale costituito da intervalli di numeri reali, delimitati come vedremo dalle soluzioni dell'equazione di secondo grado associata.
Sfrutteremo un'interpretazione geometrica delle equazioni (e disequazioni) di secondo grado, che permette di rendere più semplice e meno mnemonico lo studio di questi argomenti.
Se rappresentiamo sul piano cartesiano l'equazione $y=a{x}^2+bx+c$ otteniamo una parabola, convessa se $a>0$ e concava se $a<0$.

Parabola con $a>0$ Parabola con $a<0$

0,0

–o+←↓↑→

x

Per comodità possiamo sempre fare riferimento alla parabola convessa, cioè con $a>0$, infatti è sufficiente moltiplicare entrambi i membri della disequazione per $-1$ (ricordandosi di cambiare il verso della disuguaglianza) per portarla nella forma opportuna, ovvero con $a>0$.

Risoluzione di una disequazione di secondo grado

Per risolvere una disequazione di secondo grado $a{x}^2+bx+c\ge 0$ (o uno degli altri segni di disuguaglianza) con $a>0$ dobbiamo:
1) Trovare le soluzioni della equazione di secondo grado associata 2) Disegnare schematicamente una parabola (con concavità rivolta verso l'alto poiché abbiamo fatto in modo di avere $a>0$) a seconda delle soluzioni trovate e decidere quali sono gli intervalli che costituiscono le soluzioni della disequazione di partenza.


1) Come abbiamo visto nella lezione sulle equazioni di secondo grado, questo tipo di equazioni possono ammettere 2, 1 oppure 0 soluzioni a seconda del segno del discriminante.
2) Le soluzioni dell'equazione associata, geometricamente, sono i punti in cui una parabola di equazione $y=a{x}^2+bx+c$ interseca l'asse delle ascisse. Se $\mathrm{\Delta }>0$ troviamo due soluzioni quindi disegniamo una parabola che interseca l'asse delle $x$ due volte. Se $\mathrm{\Delta }=0$ troviamo una sola soluzione, quindi disegniamo una parabola che interseca l'asse delle $x$ una volta (ovvero è tangente all'asse delle $x$). Infine se $\mathrm{\Delta }<0$ non ci sono soluzioni, dunque la parabola non interseca mai l'asse delle $x$ e la disegniamo staccata sopra di esso.

$\mathrm{\Delta }>0$ $\mathrm{\Delta }=0$ $\mathrm{\Delta }<0$

0,0

–o+←↓↑→

x

La disequazione di partenza ci chiede per quali $x$ la parabola sta sopra ($\ge ,>$) o sotto ($\le ,<$) l'asse delle ascisse. Vediamo come si ricavano dal disegno della parabola.
Consideriamo la disequazione

• se $\mathrm{\Delta }$ > 0 l'equazione associata ha due soluzioni $x_1,x_2$ con $x_1<x_2$ e la parabola sta sopra l'asse $x$ per valori esterni alle $x_1,x_2$ trovate, pertanto la disequazione avrà come soluzione $$x\le x_1\vee x\ge x_2(x<x_1\vee x>x_2\text{se il segno è stretto})$$
• se $\mathrm{\Delta }=0$ l'equazione associata ammette una soluzione, che chiameremo $x_1$, la parabola è strettamente sopra l'asse orizzontale per qualsiasi valore di $x$ mentre interseca l'asse nel punto $x_1$, quindi la disequazione avrà come soluzione $$\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}(\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}-\{x_1\}\text{se il segno è stretto})$$ infatti se la disequazione ha il segno stretto dobbiamo togliere dalle soluzioni il punto di contatto (dove la parabola è uguale a zero).
• se $\mathrm{\Delta }$< 0 l'equazione associata non ha soluzioni, ma attenzione! non è detto che la disequazione sia impossibile! Infatti, questa parabola non tocca mai l'asse delle ascisse, ma sta sempre sopra, è sempre positiva , quindi la disequazione è sempre vera $$\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}$$

Vediamo ora l'altra disuguaglianza:

• se $\mathrm{\Delta }$ > 0 l'equazione associata ha due soluzioni $x_1,x_2$ con $x_1<x_2$, la parabola sta sotto l'asse $x$ per valori interni alle $x_1,x_2$ trovate e la disequazione ha quindi come soluzione $$x_1\le x\le x_2(x_1<x<x_2\text{se il segno è stretto})$$
• se $\mathrm{\Delta }=0$ l'equazione associata ammette una soluzione, che chiameremo $x_1$ e la disequazione avrà come soluzione $$x=x_1(\mathrm{\nexists }x\in \mathbb{R}\text{se il segno è stretto})$$ infatti in questo caso la parabola sta sempre sopra l'asse delle ascisse e lo tocca solo nel punto $x_1$, quindi non è mai $\le 0$, tranne in $x_1$ dove vale $0$, per cui la disequazione ha una soluzione se il segno non è stretto (e quindi $0$ è soluzione), ed è impossibile se il segno è stretto.
• se $\mathrm{\Delta }$< 0 l'equazione associata non ha soluzioni, ma questa volta anche la disequazione non ha soluzioni, perchè non è mai negativa $$\mathrm{\nexists }x\in \mathbb{R}$$

Vediamo qualche esempio di quanto visto finora.