Limite sinistro e destro

Abbiamo visto che quando si calcola il limite, ci si può "muovere" sull'asse delle ascisse fino al punto

x_{0}

richiesto, avvicinandosi da tutte le direzioni concesse. Finora nelle definizioni non abbiamo specificato la direzione, cioè "da che lato"

x

deve avvicinarsi al punto

x_{0}

pertanto era inteso sia da destra che da sinistra. E' possibile, e in alcuni casi necessario, limitare la direzione in cui vogliamo avvicinarci al punto

x_{0}

. Quando indichiamo la direzione di avvicinamento parliamo di limite destro o sinistro .
Indicheremo i limiti destro e sinistro rispettivamente con i simboli

lim_{x \to x_{0}^{+}} f (x) e lim_{x \to x_{0}^{-}} f (x)

Prendiamo ad esempio una funzione con un salto, come in figura:

0,0

⛶–o+←↓↑→

La funzione è costante con valore 1 per

x < 1

e costante con valore 3 per

x \geq 1

. Provando a calcolare il limite per

x

che tende a

x_{0} = 1

vediamo subito che il risultato è diverso a seconda che ci si avvicini da sinistra o da destra. Arrivando da sinistra la funzione vale sempre 1, quindi il limite non potrà essere che uguale a 1. Al contrario avvicinandosi da destra la funzione ha sempre il valore costante 3 e il limite varrà per forza di cose 3.

Vediamo come si traduce tutto questo in una definizione formale.

Sia

f : D \to R

una funzione e

x_{0}

un punto di accumulazione del dominio

D

. Si dice che per

x

tendente a

x_{0}

da destra la funzione

f (x)

ha per limite destro il numero

ℓ

e si indica col simbolo

lim_{x \to x_{0}^{+}} f (x) = ℓ

\forall ε > 0 \exists δ > 0 : x \in (x_{0}, x_{0} + δ) \cap D ⟹ f (x) \in (ℓ - ε, ℓ + ε)

Per ogni quantità arbitraria

ε

maggiore di zero esiste un intorno destro del punto

x_{0}

(x_{0}, x_{0} + δ)

, tale per cui se

x

sta in tale intorno (e nel dominio della funzione) allora l'immagine

f (x)

sta nell'intorno di

ℓ

(ℓ - ε, ℓ + ε)

Sia

f : D \to R

una funzione e

x_{0}

un punto di accumulazione del dominio

D

. Si dice che per

x

tendente a

x_{0}

da sinistra la funzione

f (x)

ha per limite sinistro il numero

ℓ

e si indica col simbolo

lim_{x \to x_{0}^{-}} f (x) = ℓ

\forall ε > 0 \exists δ > 0 : x \in (x_{0} - δ, x_{0}) \cap D ⟹ f (x) \in (ℓ - ε, ℓ + ε)

Per ogni quantità arbitraria

ε

maggiore di zero esiste un intorno sinistro del punto

x_{0}

(x_{0} - δ, x_{0})

, tale per cui se

x

sta in tale intorno (e nel dominio della funzione) allora l'immagine

f (x)

sta nell'intorno di

ℓ

(ℓ - ε, ℓ + ε)

Vale infine il seguente risultato che ci dà una relazione tra l'esistenza dei limiti destro e sinistro e l'esistenza in generale del limite

Teorema: Una funzione

f (x)

ha limite

ℓ

per

x \to x_{0}

se e solo se esistono e sono entrambi uguali ad

ℓ

i limiti destro e sinistro.

lim_{x \to x_{0}} f (x) = ℓ ⟺ lim_{x \to x_{0}^{+}} f (x) = ℓ = lim_{x \to x_{0}^{-}} f (x)

Questo teorema ci dice che se esiste il limite allora esistono il limite sinistro e il limite destro ed entrambi sono uguali al valore del limite della funzione. Inoltre, viceversa, se una per una funzione in un punto esistono il limite destro e il limite sinistro e questi hanno lo stesso valore allora esiste il limite "generico" della funzione in quel punto e il suo valore è uguale a quello comune dei due limiti destro e sinistro.