Limite finito di una funzione per $x$ che tende all'infinito

Definiamo adesso i limiti in cui è la variabile indipendente $x$ ad assumere valori sempre più grandi, cioè a tendere all'infinito. Affinchè sia possibile far tendere la $x$ all'infinito ovviamente la funzione deve essere definita in un intorno di più o meno infinito, o almeno deve avere un dominio illimitato superiormente o inferiormente, a seconda che si voglia calcolare il limite per $x \to +\infty$ o $x \to -\infty$.
Andiamo a definire la seguente scrittura: $$\lim_{x \to +\infty} f(x)=\ell \qquad o\qquad \lim_{x \to -\infty} f(x)=\ell $$ (limite per $x$ che tende a più o a meno infinito di $f(x)$ è uguale a $\ell$).
Questa scrittura mi sta dicendo che se si scelgono delle ascisse $x$ sempre più grandi, la loro immagine sarà sempre più vicina al valore $y=\ell$. Più formalmente, come al solito, se si sceglie un intorno del valore $\ell$ sull'asse delle ordinate, dovrà esser possibilie trovare un corrispondente intorno dell'infinito sull'asse delle ascisse tale per cui ogni $x$ che vive in questo intorno avrà come immagine un valore nell'intorno di $\ell$.
La definizione formale di $\lim_{x \to +\infty} f(x)=\ell $ è quindi la seguente

Sia $f:D \to \mathbb{R}$ una funzione definita su un dominio $D$ illimitato superiormente. Si dice che $f$ ha limite $\ell$ per $x$ che tende a più inifinito e si indica con $\lim_{x \to +\infty} f(x)=\ell \ $ se $$\forall \varepsilon >0 \,\ \exists K >0 \ : \ x > K, \, x \in D \implies \ f(x)\ \in (\ell-\varepsilon, \ell+\varepsilon) $$ Per ogni quantità arbitraria $\varepsilon$ maggiore di zero, riesco a trovare un intorno di più infinito $ (K, +\infty ) $ tale per cui se $x$ sta in tale intorno (e nel dominio $D$) allora la sua immagine sta nell'intorno di $\ell$: $(\ell-\varepsilon, \ell+\varepsilon)$.

Trascina il punto $x$. Abbiamo fissato un $\varepsilon$ e il corrispondente intervallo $(\ell-\varepsilon, \ell+\varepsilon) $ sull'asse delle ordinate. Abbiamo evidenziato che esiste un $K \gt 0$ tale che per ogni $x$ appartenente all'intervallo $ (K, + \infty) $ (l'intervallo azzurro nel grafico) $f(x)$ appartiene a $(\ell-\varepsilon, \ell+\varepsilon) $.

La definizione di $\lim_{x \to -\infty} f(x)=\ell $ è invece la seguente

Sia $f:D \to \mathbb{R}$ una funzione definita su un dominio $D$ illimitato inferiormente. Si dice che $f$ ha limite $\ell$ per $x$ che tende a meno inifinito e si indica con $\lim_{x \to -\infty} f(x)=\ell \ $ $$\forall \varepsilon >0 \,\ \exists K >0 \ : \ x \lt -K , \, x \in D \implies \ f(x)\ \in (\ell-\varepsilon, \ell+\varepsilon) $$ Per ogni quantità arbitraria $\varepsilon$ maggiore di zero, riesco a trovare un intorno di meno infinito $ (-\infty, -K ) $ tale per cui se $x$ sta in tale intorno (e nel domino $D$) allora la sua immagine sta nell'intorno di $\ell$: $(\ell-\varepsilon, \ell+\varepsilon)$.

Si può anche definire il limite finito di una funzione per $x$ che tende ad $\infty$ in modo generico, cioè non solamente più o meno infinito.
In questo caso la funzione tende allo stesso limite finito $\ell$ sia quando la $x$ assume valori molto grandi, cioè tende a più infinito, sia quando assume valori sempre più piccoli, cioè tende a meno infinito. Formalmente la definizione si scriverebbe nel modo seguente

Sia $f:D \to \mathbb{R}$ una funzione definita su un dominio $D$ illimitato superiormente e inferiormente. Si dice che $f$ ha limite $\ell$ per $x$ che tende a inifinito e si indica con $ \lim_{x \to \infty} f(x)=\ell \ $ se $$\forall \varepsilon >0 \,\ \exists K >0 \ : \ x \in (-\infty, -K) \cup (K, \infty), \, x \in D \implies \ f(x)\ \in (\ell-\varepsilon, \ell+\varepsilon) $$ Per ogni quantità arbitraria $\varepsilon$ maggiore di zero, riesco a trovare un intorno di infinito $ I(\infty)=(-\infty, -K) \cup (K, \infty)$ tale per cui se $x$ sta in tale intorno (e nel dominio $D$) allora la sua immagine sta nell'intorno di $\ell$: $(\ell-\varepsilon, \ell+\varepsilon)$.

Come vedremo, quando si presenta questa situazione di limite finito per $x$ che tende ad infinito, si dice che la retta $y=\ell$ è un asintoto orizzontale per la funzione. Il grafico della funzione $f(x)$ infatti si avvicina sempre di più a tale retta man mano che la $x$ cresce.
Talvolta, ma non necessariamente, se il limite è solo per $ x\to +\infty$, si usa dire che $y=\ell$ è asintoto orizzontale destro mentre se il limite è solo per $ x\to -\infty$, si usa dire che $y=\ell$ è asintoto orizzontale sinistro.

Limite per eccesso e per difetto

Come visto per il caso di limite finito per x che tende ad un valore finito si può precisare ulteriormente come la funzione si sta avvicinando al limite $\ell$: arrivando da sopra (per eccesso) oppure da sotto (per difetto). Nota che non è detto che la funzione debba per forza tendere ad $\ell$ per eccesso o per difetto, infatti è possibile che continui ad oscillare da sotto a sopra all'infinito.

Per indicare che $f(x)$ tende ad $\ell$ per eccesso (da sopra) quando $x$ tende a più infinito scriviamo $$\lim_{x \to +\infty} f(x)=\ell^{+}$$ Scrivere la definizione di questo caso è un semplice esercizio di traduzione del caso generale: $$\forall \varepsilon >0 \,\ \exists K >0 \ : \ x > K, \, x \in D \implies \ f(x)\ \in [\ell, \ell+\varepsilon) $$
Analogamente per indicare che $f(x)$ tende ad $\ell$ per difetto (da sotto) quando $x$ tende a più infinito scriviamo $$\lim_{x \to +\infty} f(x)=\ell^{-}$$ e nella definizione di limite questo si traduce in $$\forall \varepsilon >0 \,\ \exists K >0 \ : \ x > K, \, x \in D \implies \ f(x)\ \in (\ell-\varepsilon, \ell] $$ Le definizioni di limite per eccesso o per difetto quando $x$ tende a meno infinito sono analoghe e si possono ricavare facilmente da quelle viste sopra.

Limite finito di una funzione per \(x\) che tende all'infinito

Limite per eccesso e per difetto