Introduzione alle equazioni
Le equazioni sono il tassello fondamentale della matematica.
In praticamente ogni problema della matematica ad un certo punto c'è bisogno di risolvere più o meno esplicitamente un'equazione, per questo motivo anche se magari non se ne vede subito l'utilità è
importantissimo imparare a risolvere correttamente qualsiasi tipo di equazione.
Infatti la fatica spesa adesso per imparare questi concetti e per esercitarsi a risolvere diverse equazioni sarà ampiamente ripagata in futuro.
Un'equazione è un'uguaglianza tra due espressioni che possono contenere
variabili (o
incognite). Lo scopo è trovare i valori che assegnati alle variabili rendono vera l'uguaglianza tra le quantità. Le variabili sono solitamente indicate con la lettera "\(x\)" ma non deve essere necesariamente così: si può avere un'incognita \(y\), \(t\), \(z\) ecc.
Ad esempio se diciamo che
sommando ad un numero la sua metà si ottiene tale numero più 10
questo si traduce nell'equazione
$$x + \frac{1}{2}x = x +10$$
e lo scopo è trovare i possibili numeri che messi al posto della \(x\) rendono vera l'uguaglianza.
Le
soluzioni dell'equazione sono i valori che, se sostituiti al posto delle variabili, forniscono un'
uguaglianza vera.
Il
numero di soluzioni dipende dalla particolare equazione che si sta studiando: esistono equazioni senza alcuna soluzione, equazioni con una soluzione, con due, con tre e così via fino ad equazioni con infinite soluzioni.
1) Data l'equazione \(x+3=7\) verifichiamo che \(x=4\) sia una soluzione.
Sostituendo nell'equazione il valore 4 ogni volta che troviamo la \(x\) otteniamo \(4+3=7\) cioè \(7=7\). Essendo essa un'uguaglianza vera confermiamo che \(x=4\) è soluzione dell'equazione
2) Data l'equazione \(x^2-9=0\) verificare che l'insieme delle soluzioni è \(\{3,-3\}\).
Iniziamo con \(x=3\), sostituendolo otteniamo \(3^2-9=0\) da cui l'identità \(0=0\). Se sostituiamo \(x=-3\) otteniamo \({(-3)}^2-9=0\) e dunque ancora \(0=0\). Concludiamo che sia 3 che -3 sono soluzioni dell'equazione.
3) Verificare se \(x=2\) è soluzione dell'equazione \(2x+1=x-4\).
Sostituiamo ed otteniamo \(2\cdot 2 +1=2-4\) per cui \(5=-2\), un'uguaglianza chiaramente falsa. Pertanto \(x=-2\) non è soluzione dell'equazione.
Per risolvere un'equazione generalmente si fanno una serie di passaggi utili a mettere in evidenza l'incognita in modo da capire facilmente quali sono i valori che sostituiti al posto di essa soddisfano l'equazione (ovvero le soluzioni).
Nelle prossime sezioni vedremo come si risolvono diversi tipi di equazioni che si incontrano di frequente in matematica come le equazioni di primo e secondo grado, le equazioni esponenziali, logaritmiche, goniometriche ecc.
Equazioni equivalenti
Due equazioni di dicono
equivalenti se hanno lo stesso insieme delle soluzioni.
\(x+1=3\) e \(x-2=0 \)
sono equazioni equivalenti infatti entrambe hanno \({2}\) come insieme delle soluzioni (cioè \(x=2\) è l'unica soluzione di entrambe le equazioni).
\(x^2 = 4\) e \(x-2=0\)
non sono invece equivalenti infatti le soluzioni della prima sono \(x=2\) e \(x=-2\) mentre la seconda ha come soluzione solamente \(x=2\).
Principi di equivalenza
Un'equazione esprime il fatto che due quantità (i due membri dell'equazione) sono uguali. Intuitivamente se effettuiamo la stessa identica operazione ad entrambe queste quantità, cioè quella a sinistra e quella a destra dell'uguale, esse devono rimanere uguali. Questo concetto è alla base dei
principi di equivalenza, lo strumento principale per risolvere ogni tipo di equazione.
Primo principio di equivalenza
Addizionando o sottraendo lo stesso numero sia a sinistra sia a destra dell'uguale si ottiene un'equazione equivalente.
Secondo principio di equivalenza
Moltiplicando o dividendo per lo stesso numero diverso da 0 sia a sinistra che a destra dell'uguale si ottiene un'equazione equivalente.
È inoltre possibile sommare anziché un numero una quantità variabile (ad esempio una quantità che contiene la \(x\)) facendo attenzione a non modificare le condizioni di esistenza dell'equazione, oppure moltiplicare o dividere per una quantità variabile stando però attenti ai valori dell'incognita che rendono questa quantità uguale a zero.
Vedremo come questi principi possono essere utilizzati per risolvere un'equazione nella sezione dedicata alle
equazioni di primo grado.