Le funzioni

Le funzioni sono uno degli oggetti matematici più importanti che vengono studiati nei cinque anni: dalle prime definizioni come relazioni tra insiemi che vengono date nei primi anni allo studio delle varie funzioni esponenziali, goniometriche e così via fino ad arrivare allo studio delle funzioni con l’analisi infinitesimale che si vede all’ultimo anno.
Introduciamo quindi nel dettaglio il concetto di funzione.

Una funzione (o applicazione) tra due insiemi $A$ e $B$ è una relazione che ad ogni $ x\in A$ fa corrispondere uno e un solo $y \in B$

Un esempio di funzione dall'insieme A all'insieme B

Per indicare che $f$ è una funzione (o applicazione) dall’insieme A all’insieme B si scrive

$$f: A \rightarrow B$$

Se $y\in B$ è quell' (unico) elemento che viene fatto corrispondere ad $x\in A$ tramite la funzione $f$ allora si dice che $y=f(x)$, oppure se si vuole usare una notazione simile a quella di prima si può scrivere $x \mapsto y$. A volte si usa dire che la funzione $f$ “manda” $x$ in $y$. Notiamo che nella notazione

$$ \begin{align} f\colon A &\to B \\ x &\mapsto y \end{align} $$

Il tipo di freccia usato è diverso se si indica la funzione, ovvero la corrispondenza tra i due insiemi o se si indica la corrispondenza tra i singoli elementi degli insiemi.

Se $y=f(x)$ si dice che $y$ è immagine di $x$ tramite $f$ mentre $x$ è la controimmagine di $y$.

Rileggendo con attenzione la definizione notiamo che essa richiede che ad ogni elemento dell’insieme A venga fatto corrispondere un elemento di B. Nel disegno di esempio effettivamente da ogni elemento di A parte una freccia che indica l’elemento corrispondente in B. Non è invece richiesto che ogni elemento di B abbia una controimmagine, vi possono dunque essere elementi che non vengono raggiunti.

Inoltre si chiede che ad una $x\in A$ corrisponda un solo elemento $y\in B$, cioè non si può verificare una situazione del genere:

Una corrispondenza che non è una funzione. C'è un elemento dell'insieme di partenza a cui viene fatto corrispondere più di un elemento dell'insieme di arrivo.

Nessuno vieta però che a due elementi diversi $x_1, x_2 \in A$ corrisponda lo stesso elemento $y$ nell’insieme $B$. Un esempio di questa situazione si può trovare sempre nella figura sopra.

Data una funzione $f: A \to B$ l’insieme “di partenza” A è detto dominio o insieme di definizione della funzione. L’insieme “di arrivo” B è detto codominio. Il sottoinsieme di B costituito dagli elementi che sono raggiunti da qualche elemento di A è detto immagine della funzione e si può indicare con $f(A)$. Il dominio A e il codominio B sono dunque dati quando si definisce una funzione con la scrittura $f: A \to B$. L’immagine della funzione si può poi calcolare andando a vedere quali elementi di B hanno una controimmagine. Vedremo che questa distinzione sarà importante per il concetto di suriettività della funzione. Nel disegno sotto l'immagine della funzione è datà dal sottoinsieme di $B$ tratteggiato.

Se abbiamo la funzione $f: A \to B$, A è il dominio, B è il codominio e l'insieme tratteggiato è l'immagine di $f$

Quale delle seguenti corrispondenze è una funzione?

In quale delle seguenti funzioni $f: A \to B $ l'immagine è uguale al codominio?

La funzione $f: A \to B$ rappresentata in figura