Esercizi di calcolo combinatorio
In questa sezione raccogliamo alcuni esercizi svolti di calcolo combinatorio e ne proponiamo altri da fare nel tab "esercizi".
Quanti sono i possibili anagrammi (anche senza senso) della parola COMPUTER?
Un anagramma della parola è una permutazione delle lettere che la compongono. Poiché le lettere sono tutte distinte usiamo le permutazioni semplici con \(n=8\). Il numero di anagrammi è dunque
$$P_8 = 8! = 40320.$$
Quanti sono i possibili anagrammi (anche senza senso) della parola LETTERA?
In questo caso alcune lettere si ripetono: la E due volte e la T due volte. Usiamo quindi la formula delle permutazioni con ripetizioni e otteniamo
$$P_7^{2,2} = \frac{7!}{2! \cdot 2!} = 1260$$
possibili anagrammi.
Nel gioco del Totocalcio l'obiettivo è indovinare l'esito di 14 partite indicando 1 se si pensa vinca la squadra che gioca in casa, 2 per la squadra in trasferta e X se si pensa che finisca in pareggio. Quante schedine bisognerebbe giocare per avere la certezza di vincere?
Dobbiamo calcolare in quanti modi si possono disporre i segni 1,X,2 in 14 posizioni, ovviamente con la possibilità di ripetizione e con l'ordine che conta. Usiamo quindi le disposizioni con ripetizioni con \(n=3\) e \(k=14\). Otteniamo
$$D'_{3,14} = 3^{14} = 4782969.$$
Mettendo quindi 14 segni completamente a caso si ha 1 possibilità su \(4782969\) di vincere, overo circa lo \(0,0000002 \%\)
Un gruppo di 8 amici è in vacanza e si deve decidere chi dovrà dormire in ognuna delle 4 diverse camere doppie. In quanti modi si può fare la scelta?
Nella prima delle quattro camere si può mettere una coppia scelta tra tutte quelle possibili, ovvero tra \( C_{8,2} = \binom{8}{2} = \frac{8!}{2!\cdot6!} = \frac{8 \cdot 7}{2!} = 28\) coppie diverse.
A questo punto rimangono 6 persone che si possono sistemare nella seconda camera. Il numero di coppie che si possono formare è \( C_{6,2} = \binom{6}{2} = \frac{6!}{2!\cdot4!} = \frac{6 \cdot 5}{2!} = 15\).
Nella terza stanza si può mettere una coppia formata dalle 4 persone mancanti, in uno dei \( C_{4,2} = \binom{4}{2} = \frac{4!}{2!\cdot2!} = \frac{4 \cdot 3}{2!} = 6\) modi.
Infine nella quarta stanza dovranno andare le due persone rimaste.
In totale ci sono
$$C_{8,2}\cdot C_{6,2} \cdot C_{4,2} \cdot C_{2,2} = 28 \cdot 15 \cdot 6 \cdot 1 = 2520$$
modi differenti di riempire le 4 diverse camere.