Combinazioni con ripetizioni

$\require{cancel}$ Una combinazione con ripetizione di classe $k$ è una scelta di $k$ elementi, senza tenere conto dell'ordine, presi da un insieme di $n$ elementi distinti con la possibilità di ripetere più volte un elemento. Per questo motivo in questo caso non ci sono limitazioni sul numero $k$, che può anche essere maggiore di $n$.

Le combinazioni con ripetizioni sono un argomento che si vede meno spesso rispetto agli altri argomenti del calcolo combinatorio in quanto dimostrare e capire intuitivamente perché la formula è fatta nel modo che vedremo è un po' più complicato che negli altri casi visti nelle lezioni precedenti.
Il numero di possibili combinazioni con ripetizione di $n$ oggetti di classe $k$ è

$$C'_{n,k} = \binom{n+k-1}{k} = \frac{(n+k-1)!}{k!(n-1)!} $$

ovvero è uguale al numero di combinazioni senza ripetizione (semplici) di $n+k-1$ oggetti di classe $k$.

Quante sono le possibili estrazioni diverse che si potrebbero ottenere al Superenalotto se si effettuasse con reimmissione della pallina nell'urna?
Un'estrazione consiste in 6 numeri estratti tra 1 e 90. Due estrazioni con gli stessi numeri che differiscono solo per l'ordine sono in realtà la stessa estrazione ai fini di una giocata. Per questo motivo l'ordine non importa e utilizzeremo le combinazioni. Dal momento che supponiamo che le estrazioni siano con reimmissione utilizzeremo in particolare le combinazioni con ripetizioni con $n=90$ e $k=6$. Il numero di possibili estrazioni è dunque $$C'_{90,6} = \binom{90+6-1}{6} = \binom{95}{6} = \frac{95!}{6! \cdot 89!} = \frac{95\cdot94\cdot93\cdot92\cdot91\cdot90\cdot\cancel{89!}}{6!\cdot\cancel{89!}} = 869107785$$